蜗杆M值的简洁解析算法

woodee

半个月前，机缘凑巧，我推导了阿基米德蜗杆的M值公式。 用了几乎单纯的解析几何法。

过程很顺利，方法具有通用性。趁着推导过程还没淡去，分享出来，供参考。

1. 几何中心对称原则
不做理论推衍，直观看图确认：
  
  
如上图所示坐标位置，蜗杆齿面对X坐标轴，具有中心对称性。
量球圆心一定在X轴上、量针轴线一定通过X轴并与之垂直。

2. 蜗杆螺旋面的等距面
量针（量球）直径dpo  
做蜗杆螺旋面Sa的等距面Sn（距离为dpo/2），如下图示：
  
  
根据上面第1条的中心对称原则可知，等距面Sn与X轴的交点，就是量球的球心点或量针轴线与X轴相交点。

这样，我们就可以把M值的几何问题，化为推导出等距面方程，然后求出与X坐标轴交点的解析几何问题。

woodee

以ZA蜗杆为例  
  
轴剖面齿形角Ax，分度圆齿槽宽e_x，螺旋系数P（导程/360°或导程/2/π），分圆半径r_p
   
  

解方程⑥、⑦，就可以得到量针（量球）与蜗杆螺旋面接触点的参数r_c和θ 值，再将其带入③式中，量针（量球）中心点到蜗杆轴的距离r_m：
  
进而求得M值：  


不过，方程⑥、⑦，一般都为超越方程形态，无法用代数方程解法求解。求解一般都采取数值逼近法。
比如渐开线蜗杆，最终就归结为ainv函数的逼近计算。


对ZA蜗杆，螺旋升角比较小，只需采取简单的数值回代法即可。
先给定r_c一个预估值比如r_p，带入②式中，接着依次算出⑥、⑦，然后回代入②…………
反复3次左右，r_c就能精确到0.0001，回代6、7次，就能精确到0.00000001左右。

刀疤五

创新,创新,实在是创新!
感谢知识分享,楼主是个大公无私的人.

woodee

刀疤五 发表于 2021-7-3 23:02
创新,创新,实在是创新!
感谢知识分享,楼主是个大公无私的人.

老刀笑话俺了！
这大都是16世纪300多年前创立的解析几何中所谓古典曲线曲面论的内容，谈何创新？
ZA蜗杆，俺从来没设计过，估计以后也不会。对俺来说无用之推导，不如公示给大家作参考。所以也谈不上无私。

woodee

例，ZA蜗杆

Mx=1，Ax=20°，N=2，Dp=8，Xx=0，δs=0
则
ex=Mx*(π/2-2*Xx*tanAx)=1.570796326795
P=Mx*N/2=1

取量针（量球）直径dpo=1.732
选rc初值=rp=Dp/2=4

带入下面公式：
   
算出rc后，回代入②，循环反复7次，则可得：
θ=-2.47683914° （注意，θ带入⑦式，需为弧度值）
rc=4.141305599
下图显示回代计算过程：
   

算出rm
  
=4.43429509

最后求得M值：

=10.60059018

woodee

hyfjy

吴工的解析法比较过硬，同时作图精准，故在推导过程中相得益彰，这样的技能是优秀的设计人所具备的，赞一个

DD99

一般不出手，出手不一般
以前的有关蜗杆的资料上M值计算原来都是近似的计算。大神们的出手还是让人长见识的。

woodee

hyfjy 发表于 2021-7-4 21:44
吴工的解析法比较过硬，同时作图精准，故在推导过程中相得益彰，这样的技能是优秀的设计人所具备的，赞一个 ...

大家各有各的方法，但殊途同归，都能得到同样的结果。
我感觉我只是表述的清楚一点而已。

woodee

DD99 发表于 2021-7-5 16:13
一般不出手，出手不一般
以前的有关蜗杆的资料上M值计算原来都是近似的计算。大神们的出手还是让 ...

不会吧？
ZA的M值计算，推导比ZI要简单不少。
ZI公式都是准确的，ZA会是近似的？