【论文】渐开线齿轮齿根过渡曲线是圆弧齿轮端面齿廓截形

tower_cqu

齿根过渡曲线对齿轮的抗弯强度有很大影响，有一本专著（谁的记不得了），好像对这个问题做过相应的分析。

woodee

洪老您好！

正如上个月我在回复您邮件中所说的，父母年迈，这几年进入老年发病阶段，忙于照料，所以很少上论坛浏览。
这篇也是前天偶然点进来看到的。
昨天做了些准备，下边简单回复一下：

• 首先，您的计算结论是正确的。
  我昨天重做了一下
  Mn=2；An=20°；βp=30°；Xn=0.5；h*=1；c*=0.25；ra*=0.3799509
  那么渐开线起始点半径 Rq=14.21170626
  渐开线起始点压力角Aq=13.1577809°
  我用编制的Excel表格和UG文件，代入参数，相互对照，结论都对的上：
  
  
  为了证实我所言非虚，下面是三个UG文件的压缩包，下载解压后用UG（4.0以上版本）打开，可以检核相关尺寸。
  Mod.zip (4.76 MB, 下载次数: 27)
  2020-9-17 17:12 上传

  点击文件名下载附件
• 您所指出的我在以前帖子里的Rq比这个正确值大16丝，我回忆，当时是跟不同的人互动，举同一个例子但参数有所变化造成的。
  我记得当时有同好向我提示了这一点，我也进行过说明。
  我当时推导的公式，现在仍在使用，不可能现在计算正确，而以前计算就相差16丝之多。
  并且，当时我发帖子之后，有数名同好都相互对过数据，相差都在1E-7。
  更何况，我当时推导公式并写入UG当中画出齿轮端面截形后，还多次进行了相应的刀具齿条的装配模拟：
  
  
  这样反复确认下来，才敢自己确信公式推导和写入过程无误。
  上边的压缩文件里，就有齿条装配在齿轮里的UG文件，打开并改变参数L，能够精准观测到齿轮与其滚切齿条做无侧隙啮合，对应面相切及其切线的位置和移动过程。
• 您的论文题目“渐开线齿轮齿根过渡曲线是圆弧齿轮端面齿廓截形”，这对于搞过圆弧齿轮或圆弧外摆线内齿轮泵的齿形推导和计算的人，很好理解且一目了然，但对没搞过的一般同行，就比较困难了。
  一般的几何形状描述，是否还是以最基本的曲线名称为好？比如圆或椭圆，这样有利于入门者的阅读思考进入。
  何况，这里椭圆方程也很直观和简单：
  
  对此参数方程求导，得到各点的切线、法线，进而无论用运动法还是共轭法，都不难求得相应的过渡曲线。
  
  因为您“（公式推导从略）”，所以我无从判断您推导过程的简略程度。
  事实上，就我多次进行的比这复杂得多的推导共轭齿面的体会，不同的切入点和推导路径，最终都能得出完全相同的公式。
  切入点的简洁，一般仰赖以往工作经验，从而可以的某些结论当成公理来处理。
  而推导过程和公式的简洁，则需要一定的数学功底。
• 最后，您的这张端面图是不对的，可能是随手借用来的，或上传错了。
  
  变位系数0.5，螺旋角30°，端面齿形一定比较胖，且过渡曲线和渐开线在起始点是相切的。
  下图是准确的端面齿图：
  
  

以上。

祺安！

hzy

Wooded 版主： 您好！ 很高兴见到您的帖子，现就您提出的几个问题回复如下：

1. 关于我的帖子中最后一个图，由于我粗心大意，把同一CAD文件中另一个z=9,xn=0.1的图形上传出去了。正确的图形在后面补上。

2. 关于公式推导问题

（1）渐开线起始半径计算rq公式推导

这个问题，原来我觉得比较简单，只要知道基准齿条与螺旋齿轮存在纯滚动就可以了。所以只写了公式，没有介绍原理图。现将“渐开线斜齿轮起始半径计算原理图”附在后面。

（2）关于齿根过渡曲线计算

我想用我的啮合理论体系中“由齿条求圆柱螺旋面的那条高速公路”最为方便。把齿轮参数的基准定在齿条法截面是齿轮传动实现互换的重要手段。法截面是曲线齿条是齿条的一般形式。然而，除了渐开线齿轮基准齿条法截面是直线齿廓外，法截面是曲线的齿条长期来求共轭齿面十分困难，都是离不开微分几何。就是最简单的单圆弧齿轮，应是最简单曲线也是因为这个原因，如今仍然把法截面为圆弧的蜗杆作为基准齿形。圆弧齿轮公法线长度计算公式更是五花八门。因此，研究求法截面为曲线齿条的圆柱螺旋齿轮问题就具有重要意义。本帖中的公式（2）就是已知齿条法截面上一个点的齿厚、高度，法向齿形角，就可以求出齿面上的共轭点坐标。公式非常简单，更无需微分几何。至于公式推导就比较复杂，只能去参考《实用齿轮几何学理论理论与应用》一书的相关部分。与此对应的还有求圆柱螺旋面的共轭齿条，这对于求蜗轮的几何量（如蜗轮根切问题）意义更大。因为蜗轮根切这个问题，至今一直没有解决。

2 渐开线齿轮齿根过渡曲线计算例子

  本帖前面已给出了齿槽渐开线及过渡曲线的数据，顺便加上一个轮齿端面曲线图形。由于上传错了。现一并在后面补上。

3 一个小小的请求

我曾按woodee版主的公式计算过齿根过渡曲线。但是无法作出图形。查看坛友相关讨论，好像要分两部走，先画出延伸渐开线，再转一个角度，使其与渐开线相切.......，但我无从下手。

为了进一步把问题讨论清楚。请woodee版主也把本例的端面齿形数据列出来。可以作个对比。看一看是否完全一致。

谢谢！

      补充一点：这两天仔细查阅了2008-10-15版主woodee的帖子，渐开线起始点到轮齿中心夹角9.38118585°这个有误数据是当时互动中，24楼网友的的数据。张冠李戴到woodee版主头上了，对不起！

       hzy2020-09-21晚补充说明。

woodee

hzy 发表于 2020-9-20 20:25
Wooded 版主： 您好！ 很高兴见到您的帖子，现就您提出的几个问题回复如下：1. 关于我的帖子中最后一个图， ...

洪老您好！

先回复您第3条：一个小小的请求
列出数据作对比，就不必了吧？
这就是个简单的圆柱齿轮，我相信您老的数据是正确无误的。
我在9楼也给出了此齿轮的3D模型，我也自我认为正确无误，模型尺寸精度能达到0.1纳米级。有疑问可以下载3D到电脑，逐个坐标点做检查对照。也欢迎有兴趣的同行这么做。

我感兴趣的，是渐开线起始点是否与过渡曲线有关？进一步，弄过渡曲线是否只是可有可无的炫技？
首先，您给出的公式，有手册或资料在讨论齿条型刀具加工齿轮发生根切时提到过的：

这个公式，只在非根切的前提下成立。
而选取齿轮参数时，尽量不让根切发生，这个基本原则能否得到充分贯彻呢？
实际是做不到的。

我大概想了想，能举出超过20个以上的例子，下面只举几个我碰到过的、实际中在使用的例子：

• 小轿车车窗玻璃电动升降机构中的蜗杆/斜齿轮副
  
  因减小蜗杆径向力和加强塑胶斜齿轮齿体强度的需求，采用了5°压力角，这样就发生严重根切、过渡曲线占一大半齿的情况。
  但实际中就是这么使用的，而且针对车窗升降机构这种设计方案占主流。
• 磨前、磨后齿轮的起始点精确确定及其磨前滚刀的设计
  这个是我2013年碰到的一个例子。
  
  
  德国的一家生产高档轿车发动机启动平衡棒（balance stick）装置的公司
  
  他们对起始点的要求很严（直径0.15mm），大概因为TIF点决定了重合度从而影响着降噪的设计效果。
  
  很明显，根切也是很严重的。在这种情况下，根本无法逃避根切，并且就是在利用根切。
• 不同压力角的齿条、齿轮副
  
  为了尽量减小传动时的水平力，齿条采用6°压力角。
  而齿轮是20度压力角，9个齿，Xn=0.4，这也存在微量根切。
  更重要的，这隶属于“大压力角滚刀滚切小压力角齿轮”的课题，必须要校核齿轮过渡曲线与齿条是否干涉。
  于是得到精确的过渡曲线就必不可少。
• 圆柱齿轮电极摆动加工模具型腔
  为提高精度和获得光滑型腔齿面，采用圆摆动电火花加工法：
  
  
  电极采用高精度滚齿机加工，而且为实现粗加工电极的大间隙放电和精加工电极的摆动量，电极的变位系数就会比产品小不少。
  这样一来，即便产品设计为非根切状态，但电极也无法保证无根切。
  而且，电火花加工后的型腔，过渡曲线则变为电极过渡曲线的摆动共轭曲线，如果详细追究，原设计的渐开线起始点会发生变化：
  
  需进行齿轮副啮合状态的重新评估。
  

综上，我认为使用一个限定圆柱齿轮非根切前提的公式，来计算渐开线起始点，对齿轮实践来讲是远远不够的。

以上。
祝祺！

hzy

Woodee 版主：您好！

感谢您在百忙中回答我的帖子，这是齿轮几何量计算新旧两种理论不同计算方法的沟通过程。只有认真讨论，才能推动齿轮技术进步。现对两个问题谈谈我个人的看法。

1. 关于渐开线起始半径公式问题

这公式说简单也简单，说复杂也真有的复杂，也曾困惑着不少人。但是，我不大同意您关于此公式以不根切为前提的说法。因为，公式包含了根切的情况，也就是说当rq<rb时就表示根切。

2. 关于齿根过渡曲线问题

   您2008年的帖子主题就是“齿条型刀具加工圆柱齿轮的齿根过渡曲线方程”，所以其目标就是要把齿根过渡曲线的坐标方程解出来。并且准确无误地与渐开线光滑地连接上。然而，您的帖子始终没有做到这一点。

因为，用公式计算数据是最简单而科学的方法，让数据说话是最有说服力的。所以我才提出了小小的请求，您回答让我从3D模型一点一点核对，我认为，从某种意义上讲，通过3D模型获取数据，只是一种高级的图解法。

恳请您在有时间的时候，把齿根过渡曲线方程进一步完善，使公式直接面对齿根过渡曲线坐标点。以便可以摆脱3D，使齿根过渡曲线计算也更加方便。有了直接可用的公式，到时候我自己来核对就可以了。

下面这个图应该是您的吧，我初步核对了一个特殊点——根圆上的点：发现我们的计算公式得到的结果还是有微小差别的。首先从附图中该点半径与轮齿中线夹角入手。

αg=13.278865°：求得

xg=3.103377,yg=13.14987

按我的公式αg=13.27857°xg=3.103307,yg=13.14989

您说您的计算误差是0.1纳米。是您齿根过渡曲线计算公式有近似性？还是3D计算误差? 或者是我的公式有误差？我是不承认自己的公式有问题的，请你也核对一下，好吗？

刀疤五

woodee

hzy 发表于 2020-9-22 15:21
Woodee 版主：您好！ 感谢您在百忙中回答我的帖子，这是齿轮几何量计算新旧两种理论不同计算方法的沟通过程 ...

洪老您好！


您这样努力，晚辈再忙也不能怠慢。

1. 关于渐开线起始半径公式问题

这公式说简单也简单，说复杂也真有的复杂，也曾困惑着不少人。但是，我不大同意您关于此公式以不根切为前提的说法。因为，公式包含了根切的情况，也就是说当rq<rb时就表示根切。

这样吧，我们再做一个直齿轮根切的实例：
Z=8；An=20°；ha*=1；c*=0.25；Xn=0.15；rn=0.379950841。
我先给出我的结论：


3D模型如下
CG08_Mod_22Sep20.zip (1.14 MB, 下载次数: 5)

2020-9-22 22:45 上传

点击文件名下载附件

Rq=7.572980707

下来，麻烦您用公式

计算一下，看看结果。

2. 关于齿根过渡曲线问题

   您2008年的帖子主题就是“齿条型刀具加工圆柱齿轮的齿根过渡曲线方程”，所以其目标就是要把齿根过渡曲线的坐标方程解出来。并且准确无误地与渐开线光滑地连接上。然而，您的帖子始终没有做到这一点。

我把参数方程都公布了，任何人都可以认为方程不对，但怎么可能判断出根据方程得不到曲线上的几个xy坐标值？
“并且准确无误地与渐开线光滑地连接上”，这句不太准确不好理解，“光滑地”是指相切吗？

因为，用公式计算数据是最简单而科学的方法，让数据说话是最有说服力的。所以我才提出了小小的请求，您回答让我从3D模型一点一点核对，我认为，从某种意义上讲，通过3D模型获取数据，只是一种高级的图解法。

恳请您在有时间的时候，把齿根过渡曲线方程进一步完善，使公式直接面对齿根过渡曲线坐标点。以便可以摆脱3D，使齿根过渡曲线计算也更加方便。有了直接可用的公式，到时候我自己来核对就可以了。

您判断错了，我没有依赖3D，在Excel计算表中，我输入了几百个公式，还编写了几十个自定义函数，无法直接用公式求解的超越方程也都能逼近求得。
我更不能摆脱3D，因为现在CNC操作，都是直接读取3D模型取值，进行编程加工。3D模型可以因需要在无数多个点上读取，给几个或几十个点的坐标是远远不够的。
我根据公式计算，与3D模型的差异，的确能达到10的-7次方精度。我让您不妨用3D模型检查，是确信每个点都能对的上，并且直观。
而且，通过3D进行最终检查，是我多年来的工作习惯，为的是不仅仅公式正确，还要保证3D正确，如此才能提供准确的加工模本。



αg=13.278565°  没错啊！
xg=13.511107*sin（13.278565°）=3.10330731
yg=13.511107*cos（13.278565°）=13.14988578
这些跟我3D中提取线条所测量的结果完全相同，也跟您认为正确的计算结论一致啊：

嗯，我怀疑您老摁计算器或填写计算表格时，输入有误，才造成上面很奇怪的偏差。
建议再试试？


以上。


祺安！

hzy

woodee版主：您好！
1. 我引用您的图（见13楼）中夹角可是13.278865，不是13.278565啊！这是怎么回事？要是13.278565那就与我一致了，这是天大的好事，说明我的理论与传统理论是接轨的。如果帮我在中间再抽一个数据验算，那就更放心了。不过你的计算过程也太复杂了，您第一次推导过渡曲线方程花了半个月，后来有推一次，真是齿轮事业的有心人啊，为了完成一件事，只有我们这些有心人才知道有多难。我年轻时，有一回，为推导一个齿轮刀具公式，从星期六下午下班，一坐就坐到星期天下午5点钟，中间水也没有喝一口（那时我还是业余研究，只能利用晚间和星期天业余时间偷偷摸摸搞，还要担心被扣上白专道路的帽子！）。
      我的计算简单，无需逼近。在您有空时，不妨可以用我的公式（2）试试看。

2. 关于直齿轮例子
        我只要把bet=0代入就可以了，rq=7.247253,而rb=7.517541,rq<rb显然根切了，不知你的rq=7.572980707是怎么来的？

changqingshu

佩服佩服，拜读，齿轮真是博大精深，感谢感恩行业前辈砥砺前行。

刀疤五