对于渐开线齿已知展角求压力角的计算问题

fumeicheng

hyfjy 发表于 2022-3-16 15:57
发一个求渐开线函数和反求渐开线函数的计算器

佩服，大神光临了啊。你这是用VB编程的计算吧，能不能把编程过程展示一下呀？大神！
我发出来的那个程序中，我不明白牛顿求解循环的起始角度值是如何得来的！

mrmrw

看到楼主问这个问题，其实是开始学习齿轮的人都会遇到的第一个数学题。
这个数学题虽然不难，但是需要学过《数值计算》或者《数学物理方程》之类的，介绍各种迭代算的数学教科书才好。当然，也有人从编程的角度来解决这个问题。
个人建议：如果要研究深入点，可以看一下数值计算这类的数学教科书。
如果是想求解，那么用数学软件可以轻松处理。比如MathCAD、matlab、Maple或者 mathematica。精度最低的是MathCAD，精度高的，可以用后面三个，其中mathematica可以求解任意精度。都是一个简单的函数就可以求解了。
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我给出mathcad 的求解界面，迭代法和mathcad自带的Root函数法。基本上15位小数的精度足够一般工程使用了。

hyfjy

fumeicheng 发表于 2022-3-16 16:54
佩服，大神光临了啊。你这是用VB编程的计算吧，能不能把编程过程展示一下呀？大神！
我发出来的那个程序 ...

用普通的中学数学知识可以理解的是，函数计算，一个求解的前题是知道函数的收敛区间，对于函数Y=TAN(X)-X,要知道其中的X通常是以弧度来计算的，用普通的计算器计算时，可以用角度来表示一个角的正切，但后面一个数就不能用角度来表示，一定要用弧度来表示，这个函数的主值区间是0到90度，（主值的定义是通常正常使用的区域范围），其值的定义域为0~无穷大，叠代的前提是初值必须略大于最终值时，计算是无法得到正确的结果的，因为这个函数是增函数且上凹的单调函数，用普通函数计算一个设定的渐开线函数值时，只要取一个略小于90度的弧度值就一定会收敛，牛顿叠代最大的特点就是收敛非常快，但我们常用的齿轮计算中，大多数齿轮的压力角取20度或者30度时，所用的渐开线函数值都会小于60度，在这样的情况下，输一个60度或者70度的弧度值（小数），就足够了。这是本人的一点体会而已，因为计算的过程实际上是电脑的运行速度，目前几乎没有时间延迟的感觉了。

fumeicheng

hyfjy 发表于 2022-3-17 10:26
用普通的中学数学知识可以理解的是，函数计算，一个求解的前题是知道函数的收敛区间，对于函数Y=TAN(X)-X ...

感谢HYFJY，你的分析给了我很大的提示，非常认同你的分析。我已经从Dudley的书里找到了答案。

fumeicheng

mrmrw 发表于 2022-3-17 08:15
看到楼主问这个问题，其实是开始学习齿轮的人都会遇到的第一个数学题。
这个数学题虽然不难，但是需要学过 ...

感谢大神MRMRW。
是的，你的指导能让大家少走弯路。我也是听了前面几位的大神留言，才是了解到这些的，而你在这儿做了一个精辟的总结。
在了解牛顿求解之后，我一直纠结的是求解起始角度值的设定问题，从你的mathcad方程里看，start angle 是π^0.25， 我不是太理解这个值的来处？我已经从Dudly的书中找到了我照片中公式的来源，但是和你的起始值公式设置是不同的。

mrmrw

fumeicheng 发表于 2022-3-21 11:19
感谢大神MRMRW。
是的，你的指导能让大家少走弯路。我也是听了前面几位的大神留言，才是了解到这些的， ...

关于初始值的赋值，是需要一点技巧的。在迭代求解方法中，经常用函数曲线的方式来观察初始值。
使用MathCAD之类的数学软件，可以先绘制渐开线的函数曲线，然后再求解反渐开线函数的时候，就可以根据渐开线函数的曲线来赋初值了。
对于渐开线函数而言，在（0，π/2）之间是简单的单调函数。在MathCAD的时候都不用赋初值就可以了。
编程的时候，你可以尝试一下范围即可。

fumeicheng

mrmrw 发表于 2022-3-23 08:14
关于初始值的赋值，是需要一点技巧的。在迭代求解方法中，经常用函数曲线的方式来观察初始值。
使用Math ...

明白，非常感谢！