圆弧齿轮的理论基础是错误的！！！

zengxiaodong · 发表于 2023-2-16 11:08

恰恰相反，圆弧齿轮的综合曲率半径不可能超过渐开线齿轮，原因是点接触不可能超过线接触！

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滚动轴承尚且不能使得密合度为1，否则滑动摩擦力以及摩擦发热将会很严重，圆弧齿轮怎么能让法向的接触圆弧半径相等而实现线接触呢？！

zengxiaodong · 发表于 2023-2-16 11:39

退一万步来说，假设加工、装配没有任何误差，我们也把凹凸接触的圆弧设计成等半径，也就是密合度为1，这样的圆弧齿轮传动会有什么性能呢？

一方面，运转时齿廓会出现严重的摩擦磨损和发热，因为理论上齿廓不共轭，啮合传动不可能平顺进行，或者说齿面出现干涉现象；

另一方面，齿面接触应力会远高于点接触啮合的情形！因为齿轮是运动部件，凹凸齿廓完全密合时也许静止状态下接触应力是更小（这点甚至也不成立），但是运动时由于齿面相互干涉的原因，反而会导致极大的接触应力，尤其是关键的应力————引发点蚀的次表面剪应力......

这是我对于圆弧齿轮的最后致命一击！

我认为，凹凸齿廓圆弧半径之差Δρ小到一定程度的临界值时，圆弧齿轮的齿面接触应力就会急剧增加；而当Δρ大于临界值时，对于齿面接触应力的影响并非想象中那么严重。因此，无需刻意追求很小的Δρ，反而应该确保在任何情况下实现点接触啮合，这才是正解！

zengxiaodong · 发表于 2023-2-16 14:23

为了加深理解，还有一个经典的例子，那就是4点接触球轴承

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这种球轴承的内外圈其滚道制作成桃形沟，也就是沟道的最低（最高）点附近区域留出空隙，使得纯径向载荷下，钢球与内圈（或者外圈）成2点接触状态，似乎承载能力比普通深沟球轴承要高很多，其实恰恰相反，4点接触球轴承根本就不能在纯径向负载下工作，否则摩擦磨损和发热非常严重，同时，轴承寿命也严重降低，为了避免这种不良后果，必须确保轴承所受轴向力大于120%的径向力，也就是确保轴承的钢球只与某一套圈形成1点接触！

http://www.gearbbs.net/forum.php ... 98648&extra=&page=2

zengxiaodong · 发表于 2023-2-17 15:20

到目前为止，我们说圆弧齿轮传动理论基础是错误的，其实都是从定性的角度来谈的，接下来从定量的角度来更深入地指出其中的根本谬误，因为只有这样才能从逻辑上解释如下疑问：为什么半个多世纪以来，费尽中国专家们九牛二虎之力并浪费无数的人民血汗钱之后，实际的圆弧齿轮传动其承载能力总是达不到渐开线齿轮？！

先来介绍预备知识

诱导法曲率、相对法曲率、综合法曲率、当量法曲率

这4者其实是一回事，盖因英文名称也有不同的叫法，自然翻译出来也就有不同的中文名称了。

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zengxiaodong · 发表于 2023-2-17 15:55

法曲率显然是完整的名称，在不产生误解的前提下可以简称为曲率。

实际中，我们更常用的名称是曲率半径，其实就是互为倒数而已；这样的话，诱导法曲率半径是什么意思，估计大家就很明白了。

两个啮合（相切）的齿面，在切点处作包含公法线的平面，这个平面将与2个齿面分别相交出2条平面曲线，这2条平面曲线在切点处的曲率半径之差，就是所谓的诱导法曲率半径

包含公法线的平面有无穷个，所以，诱导法曲率半径也有无穷个数值，其中必有最大值，也有最小值，对应的平面称为主平面。

微分几何业已证明，2个主平面是互相垂直的！

zengxiaodong · 发表于 2023-2-17 16:15

有了上述基础知识，我们就可以讨论赫兹接触应力了，Herz接触应力公式，可谓是经典弹性力学中划时代的成就！

赫兹接触应力计算公式.png

我提供的上述图片绝对值得大家收藏起来，因为网上流行的这个图片有2个版本，其中的一个版本竟然有严重错误，错误的内容恰恰就是注1当中的综合曲率半径。

zengxiaodong · 发表于 2023-2-18 09:40

渐开线齿轮是线接触，自然适用两圆柱体接触的模型；圆弧齿轮属于点接触，居然用的也是两圆柱体接触模型，这是怎么回事呢？

请看大屏幕
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在点接触处，由于凹凸圆弧曲率半径近乎相等（尤其是磨合后可以认为局部区域曲率半径相等），不妨就认为（螺旋法向截面）实现线接触，并按照两圆柱体接触模型来计算Herz接触应力！

两个红色圆柱体都很粗短，也就是直径很大，而长度很短，很短，很短......

zengxiaodong · 发表于 2023-2-18 10:50

1、凹凸圆弧密合度根本就不能为1，甚至太接近1都不行，这点我们要无视；

2、两圆柱体Herz接触模型，仅适用于无穷长的圆柱体（平面应变），这个也要不管不顾；

3、密合圆弧虽然是曲线，但是由于非常非常非常短，因此可以认为是一段直线。

在上述3个前提下，我们就可以应用微分几何来计算诱导法曲率半径了，并进行渐开线齿轮与圆弧齿轮传动的对比了。

圆弧齿轮齿面方程及诱导法曲率的探讨.pdf (413.74 KB, 下载次数: 0)

最终结果浓缩为公式和图如下：

无标题1.png

zengxiaodong · 发表于 2023-2-18 11:24

假设压力角为20度，则螺旋角从10度到30度之间时，k=274.95~25.65

也就是圆弧齿轮的诱导法曲率半径是渐开线齿轮的25.65~274.95倍之间，根据Herz公式还需开个根号，则圆弧齿轮接触强度是渐开线齿轮的5~16倍！！！

考虑到两圆柱体接触模型中接触线长度b的差别，也就是渐开线齿轮的b远远远远大于圆弧齿轮的b，再结合实际齿轮加载运转测试的结果总是不那么尽如人意，经有关专家集体讨论，有关部门综合考虑后决定对外宣称圆弧齿轮的接触强度是渐开线齿轮的2~4倍，或者3~6倍........................

zengxiaodong · 发表于 2023-2-19 07:48

看了1981年雷天觉院士的讲话，水平真是很高

论我国圆弧齿轮的研究方向(在一机部双圆弧齿轮技术鉴定会上的总结发言).pdf (416.62 KB, 下载次数: 3)

拿圆弧齿轮传动与渐开线齿轮比较，但渐开线齿轮很多用的是指状铣刀加工出来的，精度极差，这样的比较可谓是胜之不武！

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