探讨一个有趣的问题

chen_yh

记Inv(α)为θ，对渐开线上任一点P，总可以对应一个确定的α和一个确定的θ，无论渐开线函数还是反渐开线函数，都是为了由其中一个已知的弧度值去求另外一个未知的弧度值，已知α求θ很容易，反过来就比较难。

poxiangzi

看了楼主的问题，个人意见：

1）楼主想问的是个纯数学问题，不是关于渐开线方程的推导；

2）对于角度制、弧度制的概念理解不清造成了这个问题；

3）对于数制进位制的概念理解不清造成了这个问题：

解决如下：

1）这的确是一个函数，而且是单对单的函数，即渐开线方程是一个数学函数、反渐开线方程也是一个函数；Inv只是一个记号，就像在数学中我们习惯将函数记为y=f(x)一样，只是这里的f变成了inv，表示这是渐开线函数，就像我们习惯把正弦函数记为sin一样，inv是渐开线函数的记号，去掉这个特殊性、有助于这个问题的理解；

2）弧度制与角度制的区别，弧度制就是数值，而角度制是将一个圆分成360°得到的一个单位，这个单位是1°，就像自然数的单位是1一样；因为tan(w)得到的是一个数值（你也可以称之为得到一个弧度），所以与之相减的w也必须是一个数值（或者是一个弧度），两者相减得到一个数值（或者是一个弧度），所以渐开线函数值（即inv()）的结果是一个数值，或弧度；

3）前已述及，弧度就是一个数值，故弧度的进位制是十进制，而一周是360°，所以角度制的进位制可以理解为360进制，旋转完360°、可以记为1周、进一位、重新开始记下一周走过的角度；同一进制的数据可以进行数学运算（加减乘除等）、而不同进制的数据则不能进行数学运算，所以计算渐开线函数值时必须将两个运算数据tan(w)与w转化为同一进制，上面是转化为弧度制（十进制），当然也可以转化为角度制（360进制）；

仅供参考，不知是否解释了楼主的疑问。

poxiangzi

补充一点：

函数的传统定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量。

所以从这个定义出发，我们可以判断inv(x)的确是一个函数，而大家熟悉的圆的方程：x^2+y^2=R^2，就不能称y是x的函数（或者x是y的函数）。

“那么，inv（w）是弧度，还是函数呢
由渐开线函数知道inv（20）=0.01490439，证明inv（w）是函数值，是吗？”

所以楼主的这个提法是不成立的，“弧度”、“函数”，两个概念没有什么关系，应当仅从严格的数学定义出发研究这个问题就不会有此疑问了。

athlonxp2400

刚刚来坛子里报到，感觉论坛气氛好活跃啊，这样的数学问题都会这么细致的讨论，收获很大

poxiangzi

要是有更多人讨论就更好了，发表一下吧。

纪永君

谢谢大家的教诲。都好：
其实，我的感觉和计算如下。这个问题的命题如下，这是一个比较简单的问题，请千万不要告诉我那本书上有等等。我手里的资料还是有的！
已知道，弧度角w，如果要换算成角度的时候，可以将w*180/3.1415926
如果已知道inv(y)=a.我们要求角度y的时候，使用迭代法等等都是可以计算出来的
例如inv(20)=0.0149044.使用迭代法可以求出inv（20）中的“20”
但是，如果参数方程:inv(w)=u=tan(w)-w中u是inv（w）弧度值，按照常规，inv(w)=u*180/3.1415926.我们仍以w=20度为例：则inv(20)=(0.0149044*180/3.1415926)°
计算出数值是：inv(20)=0.853959216°
既然大家求取渐开线的角度计算法，我们将渐开线函数的记号变换以下。他的意义就是“反inv0.853959216°=20°”
借用三角函数的记号来写出，就是如下的公式：
arcinv(0.853959216°）=20°
对于这个公式，难道不觉得滑稽吗

logxing

就当角度表示不存在，弧度表示才是表示角大小的本质。角度表示纯属是约定俗成的表达，把一个圆分成360份是一点道理都没有的。在此意义上sin20°是没有意义的，只有sin（20/180×Pi）才有意义，计算中除了最初的转换为弧度和最终输出给用户看的角度，其余任何地方都不应该出现°，带着°计算只会平添麻烦。

纪永君

谢谢你
我们可以看到有一种新的解释。
其实，公式本身这种工程函数到一是需要和常用的公式之一
其实，真的我也不想钻甚么牛角尖，只是觉得好玩摆了
不过，弧度是计算设计圆的角度的一种计算方法之一，使用弧长与半径的比值来计算
至于说道圆周角=360°其实也是角度的计算方法之一，在不涉及圆的地方，还是比较方便的。
其实，有的时候，我在某些思考的时候，常常使用一些数学的相应的定律。其实，有时在想一下，有好些是不必要的，甚至也是不科学的。
因为，对于数学公式的本身而言，是应该满足“本身无矛盾性”
例如，对于渐开线的参数方程，就是其中之一
其实，有时的思考也是有些匪夷所思。真的，细细的讲来，对于类似10楼的问题，促学的时候，就是照搬，照用，等到一段时间过后，通过细细的消化，使之变成自己的知识的一部分的时候，就发觉到一些问题，因此，也就通过这个平台说出来，看一下大家的理解，提高自己的水平。
我认为，书上的公式，只是作者在充分的研究后采写的，我们要想活学活用，就必须在理解的时候才好，不知大家的感受了

logxing

10楼的图是很清晰的，Inv就是另一侧角。这个几何关系很明了，我也是这样一直用的。这个算不上照搬吧，因为这就像加法交换律一样直观，没必要做加法时还总想着交换律吧。

另外我觉得你主楼的问题根源倒不是你不了解10楼的图，这个几何关系你肯定明白的。我认为让数学成为工程的工具关键是把数学和工程分开。角度表示属于工程领域，弧度属于数学领域，因此一切计算式中都不应该出现°。两者的唯一接口就是我说的“最初的转换为弧度和最终输出给用户看时转换为角度”。

展开地说，工程和数学合在一起分析问题是常有的事，我觉得这是一个比较难理解的过程，需要不停的思维转换。比较好的方法应该是工程问题-->纯数学问题-->解数学问题-->还原数学解的工程含义。一头一尾需要高级工程人员参与，数学问题反而是比较简单的了，现在纯数学的发展远远超过了工程的需求，再难的数学也写在了书本上。但是多数工程人员写的书实际上是第一步骤做得不够好，导致解数学问题这一步骤时不得不穿插大量工程性描述，结果工程技术人员和数学专业人员都不易理解。我觉得真正的好书，只需做好第一步就足够了。

好比你有一个工程经验丰富的老师傅，还有一个数学专业的大学生，想充分发挥他们各自的能力，这时要解决的就是工程问题-->纯数学问题这个第一步骤。

马文辉

给一个图，看了就能明白。
chen_yh 发表于 2009-8-23 12:24

                               
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我想引用渐开线的一个特性和一个普通的数学概念就能比较直观的解释这个问题
1 .渐开线展开线段的长度等于它所绕基圆的弧长
2 .圆弧长等于圆心角与圆半径的积
          把渐开线函数公式两边都乘以R 就能变成简单的角度加减法计算。结合10楼的图就直观明了的得出公式的合理性分析。
我想渐开线函数式就有可能是这么推导出来的，单看最终公式本身是没有什么意义的。