斜齿轮式蜗杆传动啮合分析 —— （2）斜齿轮式蜗杆传动的四类计算方法

hzy

目前，斜齿轮式蜗杆传动的各种计算方法，大致可归纳为四类：

1、按螺旋齿轮来设计

齿轮和蜗杆的法向模数都是标准模数，是比较成熟的方法，使用的也比较多。但是按法向模数来加工蜗杆：

首先，关注了法向模数却无视蜗杆的轴向模数特性；失去了轴向模数标准的特性，已不姓“蜗杆”，而变成相错角为90°的螺旋齿轮了。

第二，无法直接在车床上用标准的模数螺纹进行加工。因为车床上没有提供让你任意选用的交换齿轮。挂轮不准，就容易出问题。同时，要找到轴交角为90°的两个螺旋齿轮也是很费劲的，也许有人会说，可以用数控车床，那又另当别论了。但是整数总比小数好。

2、蜗杆保持轴向标准模数的正交螺旋齿轮传动

斜齿轮按蜗杆法向模数数据制作非标准齿轮滚刀来加工，这是计算最简单，也是最正规的方法，60年代我们厂里军品都是用这种方法。然而，一对蜗杆副一把非标滚刀，制造成本高。

3、蜗杆保持轴向标准模数，齿形角随意选取的的设计方法

这是一种最不好的设计方法。前些日子我在论坛中溜了一圈，发现了采用此设计方法的一些例子，我抄录了其中有一个帖子提供的计算数据以便我们对照讨论。这种设计虽然保留了蜗杆的轴向标准模数，但是未能满足啮合要求，因此不是一种正确的设计方法。

该设计方法错在对啮合理论了解不够，凭主观想象误认为凡是齿轮与蜗杆齿形角都是20°，不管轴向压力角，法向压力角，似乎凡是20°都一样，都能啮合。就像把法向直廓蜗杆的齿形角就当做法向压力角一样，这是一种普遍存在的非常糊涂的想法。前文提到的长沙机床厂的键槽插床中，蜗杆斜齿轮传动副斜齿轮损害一事，就是设计方法导致产品缺陷的典型例子。

4、法基节相等原则的设计方法

法基节相等指滚刀法基节mn×π×cosαn等于蜗杆的法基节mn1×π×cosαn1

本人在上世纪70年代撰文《螺旋齿轮式蜗论副的设计、加工与测量》，提出的此算法，是总结了军品中用非标准齿轮滚刀加工斜齿轮，及键槽插床的教训而研究完成的。

（1）法基节相等原则设计方法的主要计算公式

蜗杆、斜齿轮啮合参数模数计算公式

（1）mn1=mx1cosγ1（mn1为蜗杆法向模数）

（2）cosαn1=mn×cosαn／mn1（αn1为蜗杆法向压力角）

（3）sinβ2j=tanγ1（β2j为用于斜齿轮加工时的螺旋角）

（4）mn=mx1（mn为斜齿轮滚刀法向模数，mx1为蜗杆轴向模数）

（2）公式特点

这种设计方法理论严格，计算简单，最大优点是使以下5项指标都能符合标准要求，现介绍给论坛朋友，与大家分享。

a.原理达标.按渐开线螺旋齿轮传动法基节相等原理进行设计；

b.蜗杆保持轴向标准模数，可以在车床加工；

c.加工斜齿轮的滚刀是标准模数的齿轮滚刀，满足了刀具的标准化要求；

d.加工时，斜齿轮的螺旋角达标（不再等于蜗杆螺旋升角），按渐开线几何原理求得；

e.加工蜗杆的车刀齿形角达标。车刀齿形角是蜗杆基圆柱螺旋升角γb，γb等于所用滚刀的法向压力角（20°）。

春哥li

学习了，这个形式很好，比发文件直接

henrymao

看了您的这篇帖子我非常受到启发，我觉得大家可能对方法4还有一点疑惑。我这里分享下我的理解供大家参考。
我的理解里面方法4本质上还是方法1一样的，但是在方法4里面版主老师非常聪明的引入了渐开线法基节相等的方法，实现了蜗杆与斜齿轮配合都能使用标准模数。
我来说下我个人的理解：
我们知道的是在方法4下，蜗杆的轴向模数mx和齿轮的法向模数mn是一样的。这是我们所追求的目标。
所以有公式（4）mn2=mx1（mn2为斜齿轮滚刀法向模数，mx1为蜗杆轴向模数）
然后在设计中，我们选定了蜗杆的轴向模数mx1，选定了蜗杆的导程角γ1。
那么此时我们是可以计算得到蜗杆的法向模数mn1。mn1=mx1/cosγ1。
根据螺旋齿轮配合原理，那么配对齿轮的法向模数应该是需要等于蜗杆的法向模数的。
这里我们先设齿轮的法向模数为mn2，那么有mn2=mn1①。
然后我们需要确定压力角，我们一般的习惯就是直接设定法向压力角为20°，但是这里版主老师打破了惯性思维。
渐开线有个特性，渐开线上各点的压力角和节距p都是变化的。节距除以圆周率就是我们说的模数了。所以从渐开线的认识上出发，我指定渐开线上的任意一个点，都能标注出其对应的压力角和模数。虽然这些模数和压力角值不一样，但是最后他们表示的都是同一条渐开线。因为pb=mn*cos（an）。这些点的模数和压力角的余弦乘积是固定的值。基圆db=pb*z。虽然渐开线上的不同点上的压力角和模数值不一样，但是他们最后换算得到的基圆直径是一样的。渐开线形状是基圆决定的。所以基圆定了，渐开线形状就定了。
讲了那么多就是为了要说版主老师聪明呢，这里我们设与蜗杆啮合的点的模数为mn2，压力角为an2。那么基圆节距pb=mn2*cos(an2)。mn2我们已知，见我们上面标注①处。只要知道pb，我们就能知道an2了。这里我们版主老师很聪明的把pb直接设定为mn*cos（an），mn=mx1，an=20°。mn就是齿轮分度圆的模数，an就是齿轮分度圆的压力角，直接选取20度。老师把渐开线的形状先固定下来了，然后去找那个与蜗杆啮合的节点位置。节点位置的模数是多少呢？就是我上文中的mn2，那压力角是多少呢？因为点都在渐开线上，所以有mn2*cos(an2)=mn*cos（20）②，那么cos(an2)=mn*cos（20）/mn2。又因为节点上节点的模数和节点的压力角是一定等于蜗杆的法向模数和法向压力角的，即mn2=mn1，an1=an2.代入公式②，就有cos（an1）=mn*cos（20）/mn1。这就是版主老师第二个公式的推导过程。
回顾下第二个公式怎么来的？先定齿轮的渐开线形状，使齿轮的法向压力角是20度，使齿轮的法向模数与蜗杆的轴向模数一致。然后我们在确定的这条渐开线上找能与蜗杆相啮合的节点。在节点位置，蜗杆的法向模数和法向压力角一定是和齿轮渐开线上这个点位置处的法向模数和法向压力角一致。而蜗杆的法向模数我们知道了，渐开线的基圆节距我们知道了，利用渐开线特性，我们就能计算得到节点处的压力角。节点处的压力角和模数都知道了，那么节点位置也就明确了。
接下来我们看公式（3）的推导。公式（3）其实利用的是渐开线斜齿轮任意圆上的导程一致的特性来做的。
刚刚上面我们已经知道了蜗杆的法向模数，轴向模数，法向压力角，及其导程角γ1，那么根据啮合原理，在齿轮的节点上其法向模数，端面模数，法向压力角，螺旋角一定与蜗杆的一样，这里我们设齿轮节圆上的螺旋角为β1，齿轮节点上的端面模数为mt2，那么我们可以知道β1=γ1。mt2=mx1（mt2是斜齿轮节点处的端面模数）。
我们知道圆柱斜齿轮的导程公式是L=π*d/tan(β)。
下面我们算下斜齿轮在节点上的导程L=π*dp/tan(β1)=π*mt2*z2/tan(β1)=π*mx1*z2/tan(γ1)。
接下来我们算下斜齿轮在分度圆上的导程L=π*d/tan(β2j)=π*mt*z2/tan(β2j)  （β2j斜齿轮分度圆上的螺旋角，mt是齿轮分度圆上的端面模数）
斜齿轮公式mt=mn/cos(β)，代入上式得到
L=π*mn*z2/（tan(β2j)*cos(β2j)）=π*mn*z2/sin(β2j)    （tan(β2j)*cos(β2j)=sin(β2j)）
因为是同一个齿轮，他们的导程是一样的，所以节点上的导程和分度圆上的导程是一样的，那么
π*mx1*z2/tan(γ1)=π*mn*z2/sin(β2j)
消除等式两边相同项有：
mx1/tan(γ1)=mn/sin(β2j)
而我们已知的是蜗杆的轴向模数是与齿轮的法向模数一样的，即mx1=mn，这个在最上面有，那么最后结论就是
sin(β2j)=tan(γ1)
这就是版主老师公式（3）的由来。

上面就是版主老师公式我反推的过程和理解。这里我觉得大家需要使用上面的公式还需要中心距的计算公式。这也是这个方法和其他方法最大的不同的地方，这个方法里面齿轮的分度圆和啮合节圆是不重合的。我觉得有必要补充下，否则大家容易犯错。
（5）a=0.5*(mx1*z1/tan(γ1)+mx1*z2)
推导也很简单，上面的分析我们已经知道蜗杆的节点在蜗杆分度圆d1上，dp1=d1=mx1*z1/tan(γ1)。手册上的计算公式。
我们也知道齿轮的啮合节点处端面模数与蜗杆轴向模数一致，那么节圆dp2=mt2*z2=mx1*z2。
a=0.5*（dp1+dp2）=0.5*(mx1*z1/tan(γ1)+mx1*z2)

推导上面公式需要知道的定理：
1，蜗杆与齿轮啮合的节点处其模数，压力角，螺旋角一定是一样的。
2，渐开线各点有其对应的模数和压力角，各点的模数与压力角余弦的乘积是一样的。
3，斜齿轮不同圆上的螺旋角是不一样的，但是他们的导程是一样的。

hzy

henrymao 发表于 2019-3-14 19:22
看了您的这篇帖子我非常受到启发，我觉得大家可能对方法4还有一点疑惑。我这里分享下我的理解供大家参考。
...

    谢谢 你这么认真，一口气把公式反推了一遍，也见到了你对齿轮理论的功底！

admin

给楼上两位点个赞！！！文中也可以插入图片。

zhoubo618

受教了，都是大咖啊！

吴雨阳

mn1=mx1cosγ1吗？ 怎么是 mn1=mx1/cosγ1

hzy

吴雨阳 发表于 2019-3-15 15:32
mn1=mx1cosγ1吗？ 怎么是 mn1=mx1/cosγ1

      谢谢提醒！，是书写错了，怪我检查欠仔细。你说得对， 应该是mn1=mx1cosγ1 ，望坛友们在使用时更正过来。

admin

hzy 发表于 2019-3-15 19:03
谢谢提醒！，是书写错了，怪我检查欠仔细。你说得对， 应该是mn1=mx1cosγ1 ，望坛友们在使用时更 ...

1楼的帖子里已帮您订正为：mn1=mx1cosγ1

lhx77

学习了，