计算偶得

hyfjy

今天通过计算一对小模数，较少齿，有变位的齿轮齿形点，发现一个现象。我一直以为基圆的弧齿厚是全渐开线齿形上弧齿厚最大的地方，今天在计算中发现当直径稍大于基圆时（增量很小很小时），弧齿厚竟然比基齿厚还要大些。以为计算错了，可用了几种方法进行计算都是一样的结果，于是就想是不是我的认识错了，后来画了个大图，才发现是我一直以为的那种情况是错的，如果把一个齿画出来，在对齿根中部的基圆弧作切线时，通向二齿侧的那段线就是该齿轮的一齿公法线，在长度上等于基弧齿厚，也就是基齿弧齿厚，或者叫基齿厚。而那二点是该点处的一齿公法线长，公法线是直线段，那该处的弧齿厚一定比弦（公法线）要长点，这样一想，也就晃然大悟了。在一个齿的各处弧齿厚中，在测量一齿公法线的地方，弧齿厚是最大值。这就是今天得到的结论。有了最大值，那么，在从基圆弧齿厚到该点的一段弧齿厚变化中，弧齿厚是增函数，过了这点，就是减函数了。

qiuzhishihui

一直没关注过那个地方，但是基圆的齿厚确实不是齿轮最大齿厚处，这个简单对比就可以了（如：标准齿轮 分度圆齿厚S=1/2*pi*m  基圆齿厚Sb=1/2*pi*m*cos(a)），要准确计算最大位置时，用任意处齿厚通用公式是可以确定的。

mrmrw

这个问题发现过，但是未进行详细的计算。
现在用MathCAD验算一个例子，是可以观察到这个拐点。但是，随着齿数的增大，这一拐点就消失了！
注：此处采用任意圆上的齿厚与直径的关系来建立函数：Syt（dy），公式采用DIN 3960:1987标准公式。
此公式中不考虑根切，只是考虑从基圆开始的渐开线的端面弧齿厚。
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(1)z =2

(2) z = 10


(3)z = 20


(4)z = 100



(5) z = 500

mrmrw

按照拐点的求法，只要求出此函数的二阶导数 = 0时的点，然后判断在该点两侧的符号即可判断是否为拐点！
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高等数学上的拐点求解方法，还是比较简单的，自己可以试一下！

hyfjy

mrmrw 发表于 2013-8-28 08:32

                               
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这个问题发现过，但是未进行详细的计算。
现在用MathCAD验算一个例子，是可以观察到这个拐点。但是，随着齿 ...

前题：如果是考虑任意基圆（用Db表示） ，不问基圆有多大，一个齿的二齿面渐开线与X轴对称时，且都从基圆开始有齿形，相当于对一个齿进行考察，齿根圆都放在基圆上。
第一个结论：对于大于基圆的任一指定直径圆上的正值弧齿厚，都可以求出相应不为零的正值基圆弧齿厚（用Sb表示）。
第二个结论：把基圆弧齿厚的一半作为渐开线的法线，并让这条法线可以切于基圆与Xl轴的交点。
第三个结论：这条法线可以说明该点的渐开线压力角为Atn（Sb/Db），这是一个不为零的实数。
第四个结论：最大弧齿厚的圆直径为√（Sb*Sb+Db*Db），这个直径一定大于基圆直径。
第五个结论：如果仅对任意齿轮的一个齿进行考察，任何齿轮上都存在一个非基圆处弧齿厚为最大值。这个值永远不会位于基圆或处，也就是不问齿数多少，最大值一定存在。

500齿从基圆开始的一个齿：



图中左起第一条为基圆直径线，第二条为切于基圆的渐开线法线，放大后仍然可以看到极值点的存在。

也可以这样去想，在任意一基圆的上下有二条对称的渐开线是一个齿的二个面，在从基圆开始上一条渐开线的切线，斜率总是正值，过了这个极值点后，渐开线切线的斜率就发生了改变，变成负值了。

所以这个前题很重要：必须是从基圆开始，也就是开始点的渐开线压力角必须为零。如果因齿数多，就用计算得到的齿根圆作为渐开线的开始条件，就不是本题的前题了，都是与基齿弧相比较的结论。